sábado, 11 de mayo de 2013

NUMEROS NATURALES
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto.
CONSTRUCCIONES ACCIOMATICAS
 
Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.

Axiomas de Peano 

Los axiomas de Peano rigen la estructura de los números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor. Los cinco axiomas de Peano son (definición sin el cero):
  1. El 1 es un número natural.
  2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
  3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
  4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
  5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces Acontiene al conjunto de todos los números naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.

Definición en teoría de conjuntos 

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple
  1. Para cada y\in x, y\subseteq x
  2. La relación \in _x = \left\{\left(a,b\right)\in x\times x \mid a\in b\right\} es un orden total estricto en x
  3. Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden \in _x
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que \emptyset no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.
Se define-según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n^+. Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:
0=\emptyset
n^+=n\cup \{n\}
De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:
  • Por definición 0=\{\} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
  • 1 es el sucesor de 0, entonces 1=0^+=\emptyset\cup\{0\}=\{0\}
  • 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces 2=1^+=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}
  • y en general
3=\{0,1,2\}\,
4=\{0,1,2,3\}\,
5=\{0,1,2,3,4\}\,
\vdots
Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión
a\leq b \iff a\subseteq b
es decir que un número a es menor o igual que b si y sólo si b contiene a todos los elementos de a.
También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así a<b\, si y sólo si a\in b.
Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.
Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si A es un conjunto inductivo, entonces \mathbb{N}\subseteq A. Esto significa que, en efecto, \mathbb{N} es el mínimo conjunto inductivo.
Se define la suma por inducción mediante:
a+0 = a \,
a+b^+=(a+b)^+ \,
Lo que convierte a los números naturales (\mathbb{N}, +) en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedadcancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.
De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones
a\times 0 = 0\,
a\times b^+=(a\times b)+a\,
Esto convierte (\mathbb{N}, \times) (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.
Otra forma de construcción de \mathbb{N} es la siguiente: Sea \mathbb{F} la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈\mathbb{F} se dice que A R B \Leftrightarrow Existe una aplicación biyectiva de A sobre B,es decir,existe f \colon A \to B \, biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente \mathbb{F}/R\ = \{ [A] / A\in \mathbb{F} \}los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que (\mathbb{N}, +,\times) sea un semianillo conmutativo y unitario.
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ECUACUINES
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos odatos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes oconstantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
\overbrace{3x-1}^{\text{primer miembro}}=\overbrace{9+x}^{\text{segundo miembro}}
la variable x \, representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:
x = 5 \,
Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Por lo general, los problemas matemáticospueden expresarse en forma de una o más ecuaciones;[cita requerida] sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la ecuación es en realidad una identidad.
INTRODUCCION
 De manera más general, una ecuación tendrá la forma
F(a) = G(b)
donde F, G son operadores y a, b pueden ser valores numéricos, variables o funciones (en este último caso se tiene una ecuación funcional). Por ejemplo, la ecuación real (donde las incógnitas están sobre los números reales):
\sin (x) = \cos (x)
tiene por soluciones o raíces para:
\sin (x) = \cos (x) = \cfrac{\sqrt{2}}{2}
el conjunto valores:
x = \cfrac{1}{4} \pi, \; x = \cfrac{9}{4} \pi, \; ..., \; x = \cfrac{1 + 8i}{4} \pi
y para:
\sin (x) = \cos (x) = \cfrac{-\sqrt{2}}{2}
las raíces:
x = \cfrac{5}{4} \pi, \; x = \cfrac{13}{4} \pi, \; ..., \; x = \cfrac{5 + 8i}{4} \pi
Siendo i un número entero.
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Podemos ver:
\sin (x) = \cos (x) \; ; \quad \cfrac{\sin (x)}{\cos (x)} = 1 \; ; \quad \tan (x) = 1
con las soluciones:
x = \cfrac{1 + 4 \, i}{4} \pi
Para i un número entero.

Uso de ecuaciones 

La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen la primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si se considera una masa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F = 1 Kg·m/s = 1 Newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.
El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:
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